TRABALHO GRUPO
Esta tarefa foi feita para cumprir a tarefa de Matematica
Grupo VI
Nome : NRU
:
1. Abílio de Carvalho Alves 01.07.19.028
2. A
3. B
4. C
5. E
6. F
7.
Especialidade
Licenciatura Soçiologis
INSTITUTO SUPERIOR CRISTAL
ICS DILI
RESUMO:
O
presente minicurso tem como objetivo apresentar algumas das potencialidades da
utilização do sistema de numeração egípcio em sala de aula, além de
algoritmos utilizados por essa civilização para as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão. Serão ao todo dois blocos onde pretende-se,
no primeiro, uma discussão acerca do contexto histórico e dos sistemas de
numeração egípcios bem como o trabalho com as operações de adição e subtração
e, no segundo, realizar, por meio de dobras, multiplicações e divisões.
Pretende-se fornecer subsídios ao professor interessado em trabalhar o assunto
no Ensino Fundamental além de apresentar um panorama histórico desta antiga
civilização.
Este
artigo propõe-se a traçar um panorama histórico do exercício do direito, de seu
funcionamento e principais atores na Mesopotâmia antiga. Este relato histórico
é acompanhado de excertos de fontes primárias, inéditas em língua portuguesa,
as quais abrangem documentos que relatam a prática cotidiana da justiça. Os
magistrados não eram remunerados para as funções judiciárias que exerciam. Eles
recebiam presentes, šulmânu, em acádio (palavra que, literalmente, significa
saudações), das partes requerentes. Apesar de os textos cuneiformes não citarem
a figura do advogado, râbisum, em acádio, parece que a profissão existiu na
época paleoassíria. O termo tribunal não existia nas línguas suméria e acádia.
A jurisdição teria caráter temporário e existiria apenas enquanto durasse a
reunião dos magistrados. Alguns tabletes de argila contendo registros de
processos mencionam a assembléia, UNKIN em sumério e puhrum em acádio, como
instância competente para se decidirem os casos civis, penais, políticos ou
administrativos, da qual participavam os cidadãos comuns e os membros do
Conselho de Anciãos da cidade.
Introdução
O ramo de estudo conhecido como história da matemática é
a investigação das origens das descobertas em matemática e seus triunfos,
discutido os métodos e notificações da matemática no passado.
Antes dos tempos modernos e disseminando conhecimento em
todo o mundo, exemplos escritos a partir do desenvolvimento da matemática
haviam sido publicados em alguns lugares. Os primeiros escritos matemáticos
encontrados foram Plimpton 322 (Matemática da Babilônia por volta de 1900 aC),
[1] Rhind Mathematics (Matemática egípcia por volta de 2000-1800 aC) [2] e
Moscow Mathematics (Matemática egípcia por volta de 1890 aC). Todos os escritos
discutem o teorema conhecido como teorema de Pitágoras, que foi publicado no
desenvolvimento da matemática teratu e na lua mais dispersa após aritmética e
geometria básicas.
A
contribuição dos matemáticos gregos refina os métodos (especificamente através
da introdução de punições dedutivas e rigor matemático na prova de matemática)
e vence o assunto da matemática. [3] A palavra "matemática" vem da
palavra grega antiga, μάθημα (mathema), que significa "matar o
paralelo". [4] A matemática chinesa faz contribuições precoces, incluindo
notas posicionais.
O sistema numérico hindu-árabe e as regras para o uso de
suas operações, usadas até agora, podem ter sido desenvolvidas até o primeiro
milênio aC na matemática indiana e foram passadas para o Ocidente pela
matemática islâmica. [5] [6] A matemática islâmica, apoia, desenvolve e agrega
conhecimento de matemática a esta civilização. [7] Muitos textos em grego e
árabe sobre matemática foram posteriormente traduzidos para o latim, que
discutiu novos desenvolvimentos matemáticos na Idade Média da Europa.
Desde os tempos antigos até a Idade Média, explosões de
criatividade foram passadas século após século Impasse. A partir do
renascimento italiano do século XVI, o desenvolvimento de novas matemáticas,
Revivido com novas descobertas científicas feitas sobre crescimento
exponencialmente sustentável
A Matemática Babilônica foi escrita usando [[sistema
numérico]] [[sexagesimal]] (base 60). A partir disso, deriva do uso de 60
segundos por um minuto, 60 minutos por uma hora e 360 (60 x 6) graus para uma
rodada [[circle]], também o uso de segundos e minutos em um arco circular
simbolizando frações de um grau. O progresso babilônico na matemática foi
apoiado pelo fato de 60 terem muitos divisores. Além disso, diferentemente dos
egípcios, gregos e romanos, os babilônios tinham um verdadeiro sistema de
valores nominais, em que os números escritos na pista da extrema esquerda
expressam valores maiores, como no sistema [[decimal]]. No entanto, eles não
têm a equivalência de pontos decimais e, portanto, o valor da posição de um
símbolo geralmente deve ser estimado com base no contexto.
O presente minicurso propõe uma alternativa para a abordagem do sistema de
numeração egípcio no 6º ano do Ensino Fundamental de modo que o professor possa
se aprofundar no tópico apresentando a seus alunos um panorama histórico que
possibilite uma maior contextualização,
além de algorítimos utilizados pelos egípcios para as quarto operações
fundamentais.
I.
O uso
da História da Matemática em sala de aula
Um
dos argumentos para o uso da História da Matemática em sala de aula levantado
por Miguel (1997) é a possibilidade de promover uma aprendizagem natural,
intuitiva e compreensiva. Além disso, a ordem na qual os conceitos e noções da
Matemática foram construídos ao longo da História põe em evidência os
obstáculos encontrados durante esse desenvolvimento. A recriação teórica desse
processo em sala de aula, adaptado, evidenciaria o sentido e os limites da
Matemática, salientando que a História deveria delinear e estruturar a
exposição dos conceitos matemáticos, mas não de forma mecânica (Zuniga, 1988
citado por Miguel, 1997).
Tendo
em vista que a antiga civilização egípcia já trabalhava com as quarto operações
fundamentais em seu aspecto mais básico e principalmente usual, o minicurso tem
como objetivo abordar esses algorítimos.
A. O
antigo Egito e a Matemática
Segundo Katz (2008, p.2), “a agricultura
emergiu no Vale do Nilo por volta de 7000
anos atrás, mas a primeira dinastia a governar o Alto Egito (o vale do
rio) e o Baixo Egito (o delta do rio) data de aproximadamente 3100 antes da era
comum”. Ele afirma, ainda, que dentre o legado dos primeiros faraós está a
elite de funcionários e os sacerdotes, uma corte extremamente luxuosa e, para eles mesmos, os
reis, o papel de conectar os mortais aos deuses. Katz (2008) credita justamente
ao faraó a ligação entre o mundo terrestre e o mundo espiritual, o desenvolvimento da esplêndida
arquitetura do Antigo Egito, como as Pirâmides, construídas para serem as
tumbas reais, e os magníficos templos em Luxor e em Karnak.
Um aspecto importante levantado por Eves
(2005) é o isolamento geográfico natural do Egito Antigo em relação a outros
impérios contemporâneos a ele, o que proporcionou certa proteção a invasões
estrangeiras e, consequentemente, governos pacíficos e ininterruptos por uma
sucessão de dinastias. Eves (2005) contraria ainda a opinião popular ao afirmar
que a matemática no Egito
antigo não teria alcançado o nível obtido pelos babilônicos possivelmente
por esse semi-isolamento mencionado anteriormente. Enquanto a Babilônia
localizava-se em um local que era rota de grandes caravanas e necessitava de
grandes obras de engenharia que se justificavam em seus caprichosos rios, o
Tigre e o Eufrates, o Egito permanecia em seu isolamento geográfico com seu
sereno rio Nilo. É importante destacar, também, que a escrita teria começado
neste período também e que, segundo Katz (2008) essas primeiras escritas eram
sobre contabilidade, principalmente sobre os vários tipos de bens que eles
possuíam. Ainda sobre o início de escrita dos antigos egípcios, Katz (2008)
afirma que eles possuíam dois estilos diferentes para tal. Geralmente, eram
utilizados os hieróglifos para se escrever em monumentos e o hierático, uma
espécie de letra cursiva, para se escrever em papiros com pincel e tinta. Katz
(2008) também afirma que as evidencias das técnicas matemáticas utilizadas por
eles vêm da educação e do trabalho diário dos escribas e são relatadas em dois
papiros que contêm uma coleção de problemas matemáticos com suas soluções. O Papiro
Matemático
Rhind, adquirido por Scotsman A. H. Rhind
(1833-1863) em Luxor em 1858, transcrito por
volta de 1650 anos antes da era comum pelo escriba Ahmes do original 200
anos mais antigo e o Papiro de Moscou, datado do mesmo período do outro e adquirido
em 1893 por V. S.
Golenishchev (1856-1947), que o vendeu posteriormente ao Museu Estatal
Pushkin de Belas Artes, em Moscou, na
Rússia.
B.
O
sistema de Numeração Egípcio
Para
Imhausen (2007, p.13), “a mais antiga evidência de textos escritos no Egito
data
do
final do quarto milênio antes da era comum e consiste no registro de nomes
(pessoas e lugares) bem como mercadorias
e suas quantidades.”. Segundo ela, esses textos já apresentavam o mesmo sistema de numeração
que era utilizado nos últimos tempos do Egito. Um sistema decimal, não
posicional que apresentava um novo símbolo a cada nova potência de 10.
Segundo
Katz (2008) os egípcios desenvolveram dois sistemas diferentes de numeração,
sendo um para cada um dos dois estilos de escrita, hieróglifo e hierático. Para
o sistema hieróglifo, Katz (2008) afirma
que cada uma das primeiras potências de 10 era representada por um símbolo
diferente e os outros números inteiros que não fossem potências de 10, eram representas
pela repetição conveniente daqueles símbolos.
Assim, segundo Imhausen (2007) as potências eram representadas da
seguinte.
Por
exemplo, para adicionar 783 e 275,
Já o sistema de numeração hierático estaria em oposição ao sistema
hieróglífico. Para Katz (2008, p.4), “cada número entre 1 e 9 tem seu próprio
símbolo, assim como cada múltiplo de 10,
entre 10 e 90, e cada múltiplo de 100, entre 100 e 900 e assim por diante”.
Katz (2008) ainda nos apresenta como exemplo
a escrita do número 37 e 243. Para escrever o
número 37, teríamos que escrever o símbolo para 7,
, e
depois o símbolo para 30, assim, o
37 ficaria
. Já para o 243, teríamos que escrever o símbolo para 3,
, seguido
do símbolo para 40,
hierática seria, e por último o símbolo para 200,
portando, o 243 em escrita hierática seria direita para a
esquerda.vPara Katz (2008, p. 4), “uma vez que uma civilização tem um sistema
de numeração, é natural que essa civilização desenvolva algoritmos para o
cálculo desses números”. Levando isso
em consideração, tais algoritmos serão abordados na próxima seção. direita para a esquerda.
Para Katz (2008, p.
4), “uma vez que uma civilização tem um sistema de numeração, é natural que essa civilização desenvolva
algoritmos para o cálculo desses números”. Levando isso em consideração, tais algoritmos serão
abordados na próxima seção.
C. Algorítmos
Katz (2008) afirma que, no sistema hieróglifo de numeração egípcio,
operações como
adição e subtração eram um processo relativamente fácil, uma vez que
bastava combinar as unidades, as
dezenas, as centenas e assim por diante e sempre que aparecesse um grupo
de dez de algum símbolo era necessário
que o trocasse pelo símbolo seguinte.
Por exemplo, para adicionar 783 e 275,
e
,
Ou seja, ao
juntar os símbolos teríamos
Como
temos 15
símbolos , trocaremos 10
destes por um . Desta forma ficaremos com 10
símbolos , que trocaremos por um .Portanto,
teríamos como resultado , ou seja, 1058.
potência de 10 anterior. Por exemplo, para efetuar a subtração de 3221 e
2113 ou,
e
como
não existem unidades suficientes para que possamos realizar a operação, devemos substituir o próximo símbolo,
por 10
símbolos de sua potência anterior, ou seja
Portanto, teríamos agora a subtração entre
e
a
qual, realizando a subtração da segunda quantidade de símbolos na primeira,
teríamos
ou
1108.
Porém, Katz (2008, p.4) completa que “este simples algoritmo da adição e da
multiplicação, não é possível no sistema hierático. Provavelmente os escribas
simplesmente memorizavam tabelas de adição básicas”. Já o algoritmo egípcio
para a multiplicação, segundo Katz (2008,p.4) “era baseado em um processo
contínuo de dobra”. Para multiplicar dois números, x e y, o escriba escrevia o
par de números 1 e y, então dobrava-os repetidamente até que a próxima dobra de
1 resultasse em um número maior que x então verificava a soma de quais números
dos múltiplos tinha como resultado o
número x e somava seus valores correspondentes na coluna dos múltiplos do número y para encontrar o produto da
multiplicação entre x e y. Por exemplo, para multiplicar.
|
Tabela 1: Processo de multiplicação (13 . 12)
Portando, para
encontrarmos o produto de 13 . 12 basta somar os números 12, 48 e 96
e obteremos 156.
Um outro exemplo é a multiplicação 24 . 16:
Tabela 2: Processo de multiplicação (24 . 16)
|
Fonte: Produzido pelos autores
Portanto, o produto de 24 . 16 é a soma dos números 128 e 256, que é
384.
Por outro lado, é importante ressaltar que,
segundo Katz (2008) não há registros do
modo como os escribas realizavam essas dobras, eles simplesmente anotavam a
resposta. O
que se sabe, segundo o autor é que existem evidências de que este método,
das dobras, era
utilizado em algumas regiões da África até o sul do Egito e que, portanto,
os egípcios teriam
aprendido com seus vizinhos.
Para Katz (2008) os escribas egípcios tinham de alguma forma consciência de
que cada número inteiro positivo poderia ser expresso como a soma de potências de
dois e é justamente esse fato que nos fornece a justificativas para que eles
soubessem e utilizassem o procedimento
das dobras. O autor complementa ainda que o melhor palpite para a descoberta
deles sobre a representação de um número inteiro positivo como a soma de
potências de 2 é que ele foi descoberto pela experimentação e depois foi
transmitido de geração em geração.
Como a divisão é o inverso da multiplicação, Katz (2008) afirma que, por
exemplo,156 : 12 poderia ser realizado dobrando o número 12 até que o próximo
fosse o 156 e somando justamente os números correspondentes na coluna das
potências de 2, ou seja, os escribas egípcios faziam o inverso do algoritmo da
multiplicação. Ou seja:
Tabela 3: Processo de divisão (156 : 12)
|
Fonte: Produzido pelos autores
Portando, como a soma de 12, 24 e 96 é igual a 156, para encontrarmos e
resultado de
156 : 12 bastaria somar os números 1, 4 e 8, e obteríamos o quociente da
divisão que é 13. Porém, é claro que nem todas as divisões são exatas e
consequentemente, segundo Katz (2008),
quando estas divisões não exatas ocorriam, os escribas egípcios recorriam às
frações.
D. Objetivos
1. Fomentar o uso da História da Matemática como
recurso pedagógico;
2. Discutir o contexto histórico do antigo
Egito;
3. Apresentar o sistema de numeração egípcio;
4. Trabalhar com os algoritmos egípcios para as
quatro operações fundamentais.
C. Metodologia
As
atividades propostas no minicurso estão organizadas em dois blocos, de 1h30min,
sendoestes no mesmo dia para um grupo de até 30 participantes que trabalharão
individualmen te como discriminamos a seguir:
Tabela 4: Organização das atividades por
blocos
Bloco I
- Operações de adição e subtração
- Trabalhar o algoritmo da multiplicação
Bloco II
Fonte: Elaborado pelos autores.
E. Referências
umentos reforçadores e
questionadores. Zetetiké. v.5, n.8, p.73-115
Domingues.Campinas:
Editora da Unicamp, 1995.
KATZ, Victor J.
A history of mathematics. New York, Addison Wesley, 3.ed., 2008.
IMHAUSEN In
KATZ, V. (ed.) The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, china, India e
islam. A sourcebook. New Jersey: Princeton
University Press, 2007.
MIGUEL,
Antônio; MIORIN, Maria Ângela. (2008). História na Educação Matemática:
Propostas
e desafios. Coleção: Tendências em
Educação Matemática. Belo Horizonte:
Autêntica.
MIGUEL,
Antônio. (1997). As potencialidades pedagógicas da História da Matemática
em
questão:argumentos reforçadores e questionadores. Zetetiké. v.5, n.8, p.73-115
|
Números Egípcios - Conceito, o
que é, Significado
conceitos.com
|
